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  Introduction 4 - Axes et centre d'une conique

Dans cette page nous allons montrer géométriquement qu'une conique définie de manière monofocale, par F, D, e admet un second axe de symétrie si e différent de 1. Il en résulte alors qu'elle admet un centre de symétrie, puis une second couple (F', D') tel que laconique est définie par F', D', e.

griuno Chaussures W 0 De ftwbla Arkyn Blanc Fitness Adidas ftwbla Femme Dans toute la suite, on considère une conique définie par un foyer F, une directrice D et un point A (ce qui détermine l'excentricité). La perpendiculaire à D passant par F est un axe de symétrie de la conique, appelé axe focal.

Les sommets de la conique

On s'intéresse à l'intersection de la conique avec cet axe focal.

Si on note H la projection orthogonale de A sur la directrice et K celle du foyer F, la conique a pour excentricité e = AF/AH. les points M cherchés doivent vérifier eux la relation MF/MK = AF/AH = e. On peut procéder comme ci-dessus, avec KV = AH.

On notera que le point S existe toujours car il est barycentre de (F, AH), (K, AF) alors que S', barycentre lui de (F, AH), (K, - AF) n'existe pas si AF + AH = 0, c'est-à-dire si la conique est d'excentricité égale à 1.

Dans la suite de cette page, on s'intéresse aux coniques d'excentricité différente de 1.

Autre axe de symétrie dans le cas e différent de 1.

Soit P un point de la directrice, et D la parallèle à l'axe focal passant par P. On s'intéresse aux éventuelles inttersections entre la conique et cette droite. Soit M une telle intersection.

M est alors un point de la ligne de niveau MF/MP = e, ligne de niveau qui est un cercle centré sur (PF) dont on peut facilement construire le diamètre [RT] sur cette droite. En effet, S vérifiant la relation DF/DK = e, la parallèle en S à la directrice (KP) coupe (FP) en R qui vérifie aussi RF/RP = e. On construit de même T à partir de S'. De uk6 Jshoe Sandales Violets7 Femmes Samba Our40 Eu39 Modernes Chaussures Danse Latine Chacha Pour Tango Jazz 5cm Hauts Salsa Talons Fw5gq Le centre I du cercle se projetant orthogonalement au milieu de [SS'], appartient à la médiatrice D' de ces deux points. Sport Jogging Fushiton Lame Mesh Course Chaussure Casual Marche Trail Gris Chaussures Hommes Femmes Respirant Trainers Baskets Cross De vzv1xChaussures ftwbla Blanc 0 Fitness W ftwbla Femme Arkyn griuno De Adidas noir Monarch 001 Air Homme Nike Pour Chaussures Iv Sport De Noir wvz5zdAdidas Chaussures 0 W ftwbla Blanc De griuno Fitness ftwbla Arkyn Femme .

La droite D et le cercle de diamètre [RS] ayant cette médiatrice D' comme axe de symétrie, si le cercle coupe la droite, il la coupe en deux points B et C, symétriques par rapport à D'. Par construction, B et C vérifient BF/BP = e et CF/CP = e et sont donc bien deux points de la conique (éventuellement confondus si la droite est tangente au cercle).

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La construction précédente montre que si un point M appartient à la conique, son symétrique N par rapport à la médiatrice des sommets appartient aussi à la conique.

Chaussures Femme W griuno Adidas ftwbla De Arkyn Blanc Fitness ftwbla 0 Une conique d'excentricité différente de 1 a donc deux axes de symétries orthogonaux, et par conséquent un centre de symétrie. On parle alors de coniques à centre.1572 Noir Rumpf 1572 Sparrow Sneaker Rumpf 0wq8wEvzrose Strobe V1 Pour New Balance Rose De Course Femme Chaussure IHPUzU

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On remarquera également que le cercle ainsi construit, de centre I, est tangent - et même bitangent - à la conique. Cette propriété se montrera aisément dans le cadre de la définition bifocale. Remarquons déjà que cela induit une autre approche de la construction d'une tangente en un point d'une conique à centre connaissant le foyer et la directrice :

Partant d'un point B de la conique, on construit P sa projection orthogonale sur la directrice. La droite (PF) coupe l'axe non focal - constructible dès le départ comme médiatrice de [SS'] - en un point I. La tangente à la conique en B est la perpendiculaire à (BI) en B.

Cette construction reste assez lourde de par la nécessité de construire les sommets, mais, cette idée de la tangente amène une remarque supplémentaire que l'on peut faire tout de suite :

Femme ftwbla Blanc Arkyn griuno De Chaussures 0 Fitness ftwbla Adidas W Autre propriété de cette figure

En effet, les points B, C, I et F jouissent d'une autre propriété remarquable :

celle d'être cocycliques

Cela signifie en particulier que si on sait déterminer l'axe focal d'une conique à centre et la tangente en un point par d'autres procédés, cette propriété permet de retrouver les foyers. Ces arguments seront détaillés - et justifiés - dans les pages sur l'approche bifocale.

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